こんにちは、カイトです！
この記事では、インピーダンスについて基本的な性質と考え方について解説していきます。
この記事でわかること。
・インピーダンスについての理解が深まる。
・インピーダンスの直列接続・並列接続の違いがわかる。
インピーダンスとは？
まずはインピーダンスについて解説していきます。
インピーダンス
上の図の二端子回路における電圧と電流の関係を表す複素数Zのことインピーダンスという。
$$\color{red}{V=ZI}$$
で表すことができる。
また、アドミタンスYを用いると、
$$\color{red}{Y=\frac{1}{Z}}$$
とも表せる。
インピーダンスは複素数であらすことができ、一般的に実部(抵抗)を\(R\)で、虚部(リアクタンス)を\(X\)を用いて、
$$\color{red}{\dot{Z}=R+jX}$$
で表すことができます。
アドミタンスはとインピーダンスは並列に取り扱うことができるので、両者を合わせてイミタンスと呼びます。
メモ
インピーダンスとアドミタンスの相互関係については以下の記事についてまとめています。
併せて確認してみてください！
インピーダンスに関して重要なのは、ベクトル線図で考えたときに基準が電流であることです。
電気回路のベクトル図表示
一般的な回路において、電流と電圧の間には大きさの違いと位相差が生じます。
この違いをインピーダンスZを使って表すことができるわけですが、僕たちがあくまで知りたいのは大きさの違いと位相差なわけです。
この、特徴的な二つの変数(大きさ/位相差)を一目でわかるように可視化したものがベクトル図になります。
$$V=ZI$$
に関して、この式を解釈すると、
電流フェーザIにインピーダンスZをかけると、電圧フェーザVが求まる
ということがわかります。
メモ
フェーザ表示に関しては、下の記事でまとめています。
是非合わせて確認してみて下さい！
ベクトル図で表すと下のようになります。
この、基準が電流ベクトルである、ということが回路の遅れや進みを考えていく上で非常に重要になっていくのでしっかり頭に入れて置きましょう。
それではここから具体的なインピーダンスの接続方法における特徴について、みていきます！
インピーダンスの直列接続
まずはインピーダンスの直列接続です。
インピーダンスの直列接続
二つのインピーダンス\(Z_1\)と\(Z_2\)を直列につないだときの、合成インピーダンスは、
$$\color{red}{Z=Z_1+Z_2}$$
で表せる。
この等式を証明するために下の図を用います。
ここで、フェーザ表示における、電流と電圧の式を考えれば、
$$V_1=Z_1･I$$
$$V_2=Z_2･I$$
$$V=V_1+V_2$$
の3式を得ます。
ここで、それぞれの式から\(V_1\)と\(V_2\)を消去すると、
$$V=(Z_1+Z_2)･I$$
と表せます。
この\(Z_1\)と\(Z_2\)の和をZで表すことで、直列回路全体の合成インピーダンスが求まります。
$$\color{red}{Z=Z_1+Z_2}$$
メモ
アドミタンスYを用いて直列接続の式を表すと、それぞれの項の逆数を取ればいいので
$$\frac{1}{Y}=\frac{1}{Y_1}+\frac{1}{Y_2}$$
を得ます。
導出は下の記事を参考にしてください！
インピーダンスの並列接続
続いて、インピータンスの並列接続を考えます。
インピーダンスの並列接続
二つのアドミタンス\(Z_1\)と\(Z_2\)を並列につないだときの、合成アドミタンスは、
$$\color{red}{Z=Z_1+Z_2}$$
で表せる。
この等式を証明するために下の図を用います。
ここで、フェーザ表示における、電流と電圧の式を考えれば、
$$I_1=\frac{V}{Z_1}$$
$$I_2=\frac{V}{Z_2}$$
$$I=I_1+I_2$$
の3式を得ます。
ここで、それぞれの式から、\(I_1\)と\(I_2\)を消去すると、
$$I=(\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2})･V$$
この\(\frac{1}{Z_1}\)と\(\frac{1}{Z_2}\)の和を\(\frac{1}{Z}\)で表すことで、並列回路全体の合成インピーダンスが求まります。
$$\color{red}{\frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}}$$
メモ
アドミタンスYを用いて並列接続の式を表すと、それぞれの項の逆数を取ればいいので
$$Y=Y_1+Y_2$$
を得ます。
導出は下の記事を参考にしてください！
まとめ。
ということでこの記事では、インピーダンスの性質と直列・並列接続の形を見ていきました。
まとめ
・インピーダンスは、\(\color{red}{V=Z･I}\)で表せる。
・インピーダンスの直列接続は、\(\color{red}{Z=Z_1+Z_2}\)で表せる。
・インピーダンスの並列接続は、\(\color{red}{\frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}}\)で表せる。
是非この記事を参考にインピーダンスについての理解を深めていきましょう！